Экстраполятор нулевого порядка

Экстраполятор нулевого порядка — математическая модель, использующаяся при цифро-аналоговом преобразовании для восстановления дискретизованного сигнала в аналоговой форме. Такая модель необходима из-за того, что цифровой сигнал записывается последовательностью дельта-функций x_s(t), каждая из которых представляет собой один отсчёт дискретного сигнала x(nT), из которого восстанавливается непрерывный сигнал x(t). Однако использовать в качестве восстановленного сигнала последовательность импульсов непрактично и зачастую невозможно. Большинство современных цифро-аналоговых преобразователей выдают на выходе напряжение определённого уровня, которое сохраняется до следующего отсчёта.

Файл:Sampled.signal.svg

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Таким образом, экстраполятор нулевого порядка — это гипотетический электронный фильтр, преобразовывающий идеально оцифрованный сигнал

$x_s(t)\,$ $= x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \$ $= T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \$

Файл:Zeroorderhold.signal.svg

Кусочно-постоянный сигнал x_ZOH(t).

в кусочно-постоянный сигнал

$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T}-\frac{1}{2} \right) \$

Файл:Zeroorderhold.impulseresponse.svg

Импульсная передаточная функция экстраполятора нулевого порядка h_ZOH(t).

имея импульсную передаточную функцию вида

$h_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \frac{1}{T} \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T}-\frac{1}{2} \right) = \begin{cases} \frac{1}{T}, & 0 \le t < T \\ 0, & t < 0 ; t \ge T \end{cases} \$

где $\mathrm{rect}(x) \$ — прямоугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка — это преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

$H_{\mathrm{ZOH}}(f)\, = \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-i 2 \pi fT}}{i 2 \pi fT} = e^{-i \pi fT} \mathrm{sinc}(fT) \$

где $\mathrm{sinc}(x) \$ — sinc-функция.

Передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка получают формальной заменой s = i 2 π f:

$H_{\mathrm{ZOH}}(s)\, = \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{ZOH}}(t) \} \,= \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \$

См. также

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор первого порядка