ФЭНДОМ


Теория автоматического управления (ТАУ) — это дисциплина, изучающая процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Основные понятия Править

Автоматика — отрасль науки и техники, охватывающая теорию и практику автоматического управления, а также принципы построения автоматических систем и образующих их технических средств.

Управление — процесс, обеспечивающий необходимое по целевому назначению протекание процессов.

Цель — причина управления, задающая воздействие на её достижение. Воздействие на объект управления предназначено для достижения цели управления.

Объекты :

  • управляемые
  • неуправляемые

Система автоматического управления (САУ) включает в себя объект управления и устройство управления.

Устройство управления — совокупность устройств, с помощью которых осуществляется управление существующими технологическими параметрами.

Объект управления — агрегат, в котором происходит подлежащий управлению процесс.

Регулирование — частный случай управления.

Регулятор — вырабатывает управляющие воздействия на ОУ, поддерживает на заданном уровне или изменяет по определенному закону регулируемую величину.

Внешние воздействия g(t) — определяют требуемый закон регулирования выходной величины.

Возмущающие воздействия f(t) — нарушают требуемую функциональную связь.

Возмущения :

  • внешние
  • внутренние

Системы автоматического управления:

  • разомкнутые
  • замкнутые

Функциональные схемы Править

Файл:T-F-S.GIF

Функциональная схема элемента — схема системы автоматического регулирования и управления, составленная по функции, которую выполняет данный элемент.

Выходные сигналы — параметры, характеризующие состояние объекта управления и существенные для процесса управления.

Выходы системы — точки системы. в которых выходные сигналы могут наблюдаться в виде определенных физических величин.

Входы системы — точки системы, в которых приложены внешние воздействия.

Входные сигналы

  • помехи — сигналы, не связанные с источниками информации о задачах и результатах управления.
  • полезные — сигналы, связанные с источниками информации о задачах и результатах управления.

Системы

  • одномерные — системы с одним входом и одним выходом.
  • многомерные — системы с несколькими входами и выходами.

Принципы управления САУ Править

Обратная связь — связь, при которой на вход регулятора подается действительное значение выходной переменной, а также заданное значение регулируемой переменной.

  • жёсткая — такая ОС, при которой на вход регулятора поступает сигнал пропорциональный выходному сигналу объекта в любой момент времени.
  • гибкая — такая ОС, при которой на вход регулятора поступает не только сигнал пропорциональный выходному сигналу объекта, но и сигнал пропорциональный производным выходной переменной.

Управление по принципу отклонения управляемой переменной: — обратная связь образует замкнутый контур. На управляемый объект подается воздействие пропорциональное сумме(разности) между выходной переменной и заданным значением так, чтобы эта сумма(разность) уменьшалась.

Управление по принципу компенсации возмущений: — на вход регулятора попадает сигнал, пропорциональный возмущающему воздействию. Отсутствует зависимость между управляющим воздействием и результатом этого действия на объект.

Управление по принципу комбинированного регулирования: — используется одновременно регулирования по возмущению и по отклонению, что обеспечивает наиболее высокую точность управления.

Классификация САУ Править

По степени использования информации о состоянии объекта управления:

  • управление с ОС
  • управление без ОС.

По степени использования информации о параметрах и структуре объекта управления:

  • адаптивный
  • неадаптивный
  • поисковый
  • беспоисковый
  • с идентификацией
  • с переменной структурой.

По степени преобразования координат в САУ:

  • детерминированный   f(t) = f(t+1)
  • стохастический (со случайными воздействиями)   f(t) \ne f(t+1)

По виду мат. модели преобразования координат:

  • линейные
  • нелинейные (релейные, логич. и др.)

По виду управляющих воздействий:

  • аналоговые
  • дискретные (прерывные, импульсные, цифровые)

По степени участия человека:

  • ручные
  • автоматические
  • автоматизирование (человек в управлении).

По закону изменения выходной переменной:

  • стабилизирующая: предписанное значение выходной переменной является неизменным.
  • программная: выходная переменная изменяется по определенной, заранее заданной программе.
  • следящая: предписанное значение выходной переменной зависит от значения неизвестной заранее переменной на входе автоматической системы.

По количеству управляемых и регулируемых переменных

  • одномерные
  • многомерные

По степени самонастройки, адаптации, оптимизации и интеллектуальности:

  • экстремальные
  • самонастраивающиеся
  • интеллектуальные

По воздействию чувствительного (измерительного) элемента на регулирующий орган:

  • системы прямого управления
  • системы косвенного управления

Интеллектуальные САУ Править

ИСАУ — это системы, которые позволяют проводить обучение, адаптацию или настройку за счет запоминания и анализа информации о поведении объекта, его СУ и внешних воздействий. Особенностью данных систем является наличие базы данных машины логического вывода, подсистемы объяснений и др.

База знаний — формализованные правила в виде логических формул, таблиц и т. п. ИСУ используется для управления плохо формализованными или сложными техническими объектами.

Класс ИСУ соответствует признакам:

  • Наличие взаимодействий СУ с реальным внешним миром с использованием информационных каналов связи.
  • Открытость системы — нужен для пополнения и приобретения знаний.
  • Наличие механизмов прогноза изменений среды функционирования системы.
  • Наличие системы структуры построения, то есть неточность информации об ОУ может быть компенсирована за счет повышения интеллектуализации алгоритма управления.
  • Сокращение функционирования при разрыве связи.

Если ИСУ удовлетворяет всем 5-ти признакам, то она интеллектуальна в «большом», иначе в «маленьком» смысле.

Математические модели линейных САУ Править

Детерминированные


W_0(p) = \frac{A(p)}{B(p)}


W_0(p) = \frac{K_0}{T_0p}e^{-p\tau}

Статистические

Характеризуются набором статистических параметров и функций распределения.

Для их исследования используются методы математической статистики.

Адаптивные

Используют для описания объекта управления детерминировано-стохастические методы.

Виды воздействий. Переходная, весовая, передаточная функция Править

  • Единичная ступенчатая функция — специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов
  • Единичная импульсная функция — производная от единичной ступенчатой функции. Характеризует собой импульс бесконечно-большой амплитуды, протекающий за бесконечно-малый промежуток времени. Геометрический смысл — площадь, ограниченная данной функцией равна 1.
  • Переходная функция — это реакция системы на единичный ступенчатый сигнал.
  • Весовая функция — это реакция системы на единичный импульс.
  • Передаточная функция — отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного при нулевых начальных условиях и нулевых внешних возмущениях.

Передаточная функция соединения звеньев Править

Последовательное соединение Править

Wэ(p) = W1(p)W2(p)…Wn(p) = \prod_{i=1}^n W_i

Параллельное соединение Править

Wэ(p) = W1(p) + W2(p) + … + Wn(p) = \sum_{i=1}^n W_i

Передаточная функция замкнутой системы Править

  • WOC(p) — уравнение, описывающее уравнение обратной связи
  • W(p) — уравнение, описывающее звено
  • G(p) — уравнение, описывающее входное воздействие
  • UOC(p) — уравнение, описывающее выходной сигнал звена обратной связи
  • ΔU(p) — уравнение, описывающее сумму(разность) G(p) и UOC(p)
  • Y(p) — уравнение, описывающее выходной сигнал системы

f(n)=\left\{\begin{matrix} Y(p)=W(p) \Delta U(p)\\ U_{OC}(p) = W_{OC}(p) Y(p)\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p) \end{matrix}\right.

Решая данную систему уравнений, получим следующие результаты:

Y(p) = W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))

Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y = W(p)G(p)

Y ={ {W(p)G(p)}\over {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}

W_{\ni}(p)={Y\over G(p)} = {W(p)\over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}

Получение передаточной функции в пространстве состояний Править

Входной и выходной сигнал задаются системой

f(n)=\left\{\begin{matrix} \dot x(t)=A\cdot x(t) + B\cdot U(t)\\ y(t) = C\cdot x(t)+D\cdot U(t) = C\cdot x(t)\end{matrix}\right.так как в измерительном устройстве внешних воздействий нет

Aij = const

Bij = const

Пусть E - единичная матрица, тогда:

PEx - Ax = BU

(PE - A)x = BU

x(0) = 0

W_x(p)={X(p)\over U(p)} = {(PE - A)^{-1}B\cdot U(p)\over U(p)} = (PE - A)^{-1}B = \Phi (p)\cdot B

W_y(p)=Y(p) =C\cdot \Phi (p)\cdot B

W'_y(p)={Y(p)\over X(p)} = {C\cdot \Phi(p)\cdot B\over \Phi(p)\cdot B}

Линеаризация систем и звеньев Править

Пусть САУ регулируется и описывается нелинейным уравнением


F(x, \dot x, y, \dot y, \ddot y, ... , f, \dot f, \ddot f) = 0

Причем, нелинейность несущественна, т.е. эту функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки, например, при внешнем возмущении f = 0.

Уравнение этого звена в установившемся режиме выглядит следующим образом:


F(x^0,0,y^0,0,0)=0, x_k^0, y_k^0
, начальные точки, производные отсутствуют.

Тогда, разлагая нелинейную функцию в ряд Тейлора, получим:


F(x^0,y^0)+\left(\frac{\partial F}{\partial x} \right)^0\Delta x+\left(\frac{\partial F}{\partial \dot x} \right)^0\Delta \dot x+\left(\frac{\partial F}{\partial y} \right)^0\Delta y +\left(\frac{\partial F}{\partial \dot y} \right)^0\Delta \dot y+\left(\frac{\partial F}{\partial \ddot y} \right)^0\Delta \ddot y+R_n = 0, R_n, 
- остаточный член


F(x,y)^0+\left(-b_1 \right)\Delta x+\left(-b_0 \right)\Delta \dot x+\left(a_2 \right)\Delta y +\left(a_1 \right)\Delta \dot y+\left(a_0 \right)\Delta \ddot y+R_n = 0


\left\{\begin{matrix} \Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow R_n \rightarrow 0


a_0\frac{d^2y}{dt^2}+a_1\frac{dy}{dt}+a_0y = b_0\frac{dx}{dt}+b_1x

От нелинейной записи перешли в линейную

Перейдем к операторному уравнению:


(a_0p^2+a_1p+a_2)y = (b_0p+b_1)x


F()\rightarrow F(\Delta x, \Delta y) \rightarrow LE \rightarrow OE

Управляемость, наблюдаемость САУ Править

САУ управляема (полностью управляема), если она может быть переведена из любого начального состояния x0(t) в другое произвольное состояние x1(t) в произвольный момент времени путём приложения кусочно-непрерывного воздействия U(t)∈[t0;t1].

САУ наблюдаема (полностью наблюдаема), если все переменные состояния x(t) можно определить по выходному (измеряемому) воздействию y(t).

Устойчивость линейных систем Править

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Возмущения

  • отрицательные или «ветровые»
  • положительные или «полезные»

Устойчивая САУ — система в которой переходные процессы являются затухающими.

(a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)y = (b_0p^m+b_1p^{m-1}+...+b_m)g — операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y(t) = yуст(t)+yп = yвын(t)+yсв

yуст(yвын) частное решение линеаризированного уравнения

yп(yсв)общее решение линеаризированного уравнения, как однородного дифференциального уравнения, то есть D(p)=(a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)y = 0

САУ устойчива, если переходные процессы уn(t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть y_n(t)\rightarrow 0 при t\rightarrow \mathcal {1}

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни pi, pi+1 = ±αi ± jβi

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:


c_ie^{(\alpha_i+j\beta_i)t}+c_{i+1}e^{(\alpha_i-j\beta_i)t}=\alpha_i(c_ie^{j\beta_it}+c_{i+1}e^{-j\beta_it}) = 
Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}
, где 
A = \sqrt{c_i^2+c_{i+1}^2}
, 
\operatorname{tg} {\varphi_i} = {c_i+c_{i+1} \over c_i-c_{i+1}}

Из полученных результатов видно, что:

  • при ∀αi<0 выполняется условие устойчивости, т.е. переходный процесс с течением времени стремиться к ууст (Теорема Ляпунова 1);
  • при ∃αi>0, выполняется условие неустойчивости (Теорема Ляпунова 2), то есть  Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}\rightarrow \mathcal{1} , что приводит расходящимся колебаниям;
  • при ∃αi=0 и ¬∃αi>0  Ae^{\alpha_it}\sin {(\beta_it+\varphi_i)}=const , что приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям системы(система на границе устойчивости) (Теорема Ляпунова 3)

Критерии устойчивости Править

Критерий Рауса Править

Для определения устойчивости системы, строятся таблицы вида:

КоэффициентыСтрокистолбец 1столбец 2столбец 3
1C_{11}=a_0=T_1T_2T_3 C_{12}=a_1=T_1+T_2+T_3C_{13}=a_4
2C_{21}=a_1=T_1T_2+T_2T_3+T_1+T_3 C_{22}=a_3=1+k C_{23}=a_5
r_3 = \frac{C_{11}}{C_{21}}3C_{31}=C_{12}-r_3C_{22}C_{32}=C_{13}-r_3C_{23} C_{33}=C_{14}-r_3C_{24}
r_4 = \frac{C_{21}}{C_{31}}4C_{41}=C_{22}-r_4C_{32}C_{42}=C_{23}-r_4C_{24} C_{43}=C_{24}-r_4C_{34}

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы - система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительные, то система на границе устойчивости.

Критерий Гурвица Править


D(p)=a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n


\Delta_n = a_n\cdot \Delta_{n-1}=
\begin{vmatrix} 
a_1 & a_3 & a_5 & ... & 0 \\
a_0 & a_2 & a_4 & ... & 0 \\
0 & a_1 & a_3 & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... \\
0 & ... & ... & ... & a_n
\end{vmatrix}
 — Определитель Гурвица

Теорема: Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при 
a_0>0.

Критерий Михайлова Править


D(p)=a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n

Заменим 
p = j\omega
, где ω - угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.


D(j\omega) = X(\omega) + jY(\omega) = A(\omega)e^{j\psi (\omega)}


X(\omega) = a_n - a_{n-2}\omega^2+...


Y(\omega) = a_{n-1}\omega - a_{n-3}\omega^3+...

Критерий: для устойчивой системы n-го порядка кривая Михайлова проходит последовательно через n квадрантов


D(p)=a_0(p-p_1)(p-p_2)...(p-p_n)


p=j\omega \Rightarrow D(j\omega)=a_0(j\omega-p_1)(j\omega-p_2)...(j\omega-p_n)

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней(α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения отрицательное вещественное число 
p_1 = - \alpha _1

Соответствующий данному корню сомножитель 
(\alpha_1+j\omega)


\left\{\begin{matrix}\omega \rightarrow +\mathcal{1} \\
p_1=-\alpha _1\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \psi \rightarrow \frac{\pi}{2}

2) Корень характеристического уравнения положительное вещественное число 
p_1 = + \alpha _1

Соответствующий данному корню сомножитель 
(\alpha_1-j\omega)


\left\{\begin{matrix}\omega \rightarrow +\mathcal{1} \\
p_1=+\alpha _1\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \psi \rightarrow - \frac{\pi}{2}

3) Корень характеристического уравнения комплексная парачисел с отрицательной вещественной частью 
p_{2,3} = - \alpha _1 \pm j\beta

Соответствующий данному корню сомножитель 
(j\omega+\alpha_1-j\beta)(j\omega+\alpha_1+j\beta)


\left\{\begin{matrix}
\omega \rightarrow +\mathcal{1} \\
p_2=-\alpha _1+j\beta \\
p_3=-\alpha _1-j\beta
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
\psi_2 \rightarrow + \frac{\pi}{2} - \gamma \\
\psi_3 \rightarrow + \frac{\pi}{2} + \gamma
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \psi \rightarrow + 2\frac{\pi}{2}=+\pi
, где 
\gamma = \operatorname{arctg} \frac{\beta}{\alpha}

4) Корень характеристического уравнения комплексная парачисел с положительной вещественной частью 
p_{2,3} = + \alpha _1 \pm j\beta

Соответствующий данному корню сомножитель 
(j\omega-\alpha_1-j\beta)(j\omega-\alpha_1+j\beta)


\left\{\begin{matrix}
\omega \rightarrow +\mathcal{1} \\
p_2=+\alpha _1+j\beta \\
p_3=+\alpha _1-j\beta
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
\psi_2 \rightarrow - \frac{\pi}{2} + \gamma \\
\psi_3 \rightarrow - \frac{\pi}{2} - \gamma
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \psi \rightarrow - 2\frac{\pi}{2}=-\pi
, где 
\gamma = \operatorname{arctg} \frac{\beta}{\alpha}

Критерий Найквиста Править

Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (а. ф. х.) или логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представленна в виде полинома 
W(p)=\frac{R(p)}{Q(p)}= \frac{b_0p^n+b_1p^{n-1}+...+a^n}{a_0p^m+a_1p^{m-1}+...+a^m}

тогда сделаем подстановку 
p=j\omega
и получим: 
W(j\omega) = \frac{R(j\omega)}{Q(j\omega)} (*)= X(\omega)+jY(\omega) = A(\omega)e^{j\psi(\omega)}

Для более удобного построения годографа при n>2, приведем уравнение (*) приведем к "стандартному" виду: 
W(j\omega) = \frac{K(1+j\omega\tau_1)(1+j\omega\tau_2)[(1-\tau_3^2\omega^2)+2j\xi_3\tau_3\omega]...}{(j\omega)'[(1-T_2^2\omega^2)+2j\xi_2T_2\omega](-1+j\omega T_3)...}

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции

СомножительA(\omega)\psi(\omega)
kk0
pω\frac{\pi}{2}
p^2\omega^2\pi
Tp+1\sqrt{1+T^2\omega^2}\operatorname{arctg} \omega T
Tp-1\sqrt{1+T^2\omega^2}\pi - \operatorname{arctg} \omega T
1-Tp\sqrt{1+T^2\omega^2}-\operatorname{arctg} \omega T
T^2p^2+1\left|1-T^2\omega^2\right|


\begin{matrix} 
0, & \omega<\frac{1}{T} \\ 
\pi, & \omega>\frac{1}{T}
 \end{matrix}

T^2p^2+2\xi Tp+1\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+4\xi^2T^2\omega^2}


\begin{matrix} 
\operatorname{arctg} \frac{2\xi\omega T}{1-T^2\omega^2}, & \omega<\frac{1}{T} \\ 
\pi+\operatorname{arctg} \frac{2\xi\omega T}{1-T^2\omega^2}, & \omega\geqslant\frac{1}{T}
 \end{matrix}

После чего построим годограф для вспомогательной функции 
W_1(j\omega)=1+W(j\omega)
, для чего будем изменять 
\omega [0; \mathcal{1})

При 
\omega = 0,\quad W_1(j\omega) = K+1
, а при 
\omega = \mathcal{1},\quad W_1(j\omega) = 1
(т.к. n<m и W(j\omega) = 0
)

Для определения результирующего угла поворота найдем разность аргументов числителя 
\psi_1
и знаменателя 
\psi_2

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует 
\psi_1=\psi_2
, следовательно результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции 
W(j\omega)
, соответственно, точку с координатами 
(-1; j0)

Запас устойчивости САУ Править

Необходимость запаса устойчивости определяется следующими условиями:

  • Отбрасывание нелинейных слагаемых при линеаризации.
  • Коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее САУ, определяются с погрешностью.
  • Устойчивость исследования для типовых систем при типовых условиях.

Критерий Рауса

  • Чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были больше какой-то фиксированной величины ε>0, называемой коэффициентом запаса устойчивости.

Критерий Гурвица

  • Запас устойчивости определяется аналогично запасу устойчивости Рауса, только ε характеризует значение определителя Гурвица.

Критерий Михайлова

  • Вписывается окружность ненулевого радиуса с центром в точке О(0;0). Запас определяется радиусом этой окружности. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с окружностью.

Критерий Найквиста

  • Здесь критической является точка (-1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой будет представлять коэффициент запаса устойчивости.

Сравнительная характеристика критериев устойчивости Править

Частотный критерий Найквиста применим главным образом, когда трудно получить экспериментально фазовые характеристики. Однако вычисление АФХ особенно частотных, сложнее чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчива ли система, то есть требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учетом влияния каждого звена, что придает критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

Использованная литература Править

  • В. А. Бесекерский : Теория Систем Автоматического Управления.
  • П. Н. Сенигов : Теория Автоматического Управления. Конспект лекций.
  • Г. М. Ружников : Курс лекций по ТАУ.

См. также Править

Ссылки Править

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики