ФЭНДОМ


Система

\dot q(t)=F(t)q(t)+G(t)y(t)+H(t)u(t) (1)
z(t)=K(t)q(t)+L(t)y(t)+M(t)u(t)\! (2)

является наблюдателем для системы

\dot x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (3),
y(t)=C(t)x(t)\! (4),

если для каждого начального состояния x(t_0)\! системы (3)-(4) существует начальное состояние q_0\! для системы (1)-(2), такое, что равенство q(t_0)=q_0\! приводит к z(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0.

Здесь A(t), B(t), C(t), F(t), G(t), H(t), K(t), L(t), M(t)\! — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность q(t)\! равна размерности x(t)\! и выполнение условия q(t_0)=x(t_0)\! дает q(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. n\!-мерный вектор x(t)\!, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени t\!. r\!-мерный вектор u(t)\! описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

l\!-мерный вектор y(t)\! представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно l<n\!. y(t)\! называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда F(t)=A(t)-K(t)C(t)\!, G(t)=K(t)\!, H(t)=B(t)\!, где K(t)\! является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)] (5).

Матрица K(t)\! называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде \dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)], откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы A(t)-K(t)C(t)\!.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления K\!, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы A-KC\!, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

e(t)=x(t)-q(t)\!

удовлетворяет дифференциальному уравнению

\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t).

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

e(t) \to 0 при t \to 0

для всех e(t_0)\! тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления K\!, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной y(t)\!.

Примечания Править


См. также Править

Ссылки Править

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики